Пособие с 3 до 7 лет "задним числом" выплачивается только тем семьям, в которых ребенок достиг возраста 3 лет ранее 2020 года.
В вашем случае пособие будет выплачиватся с июля 2020 года. Так как пособие платится с 3-летнего возраста. Значит и оснований у вас получать пособие за несколько месяцев нет