Зачем в Российской Федерации различные названия субъектов, а не только республики, области или, например, штаты?

Так сложилось исторически. Наше административно-территориальное деление родом из СССР, точнее РСФСР. Его основы заложены при создании СССР, когда важное значение придавалось этнической структуре региона, таким образом, подчеркивалось право народов на самоопределение.

Области преимущественно населены русскими (Тамбовская,Липецкая и т.д.); республики – в основном образовывались из автономных советских социалистических республик с преобладанием или значимой ролью титульной нации (например, Татарская АССР – Республика Татарстан).

Края также преимущественно заселены русскоязычными, но в их составе также были автономные области с этническими меньшинствами. Например, Алтайский край и Горно-Алтайская область. Многие автономные области после распада СССР также преобразованы в республики (например, Республика Алтай, кроме Еврейской автономной области).
Автономные округа появились из национальных округов и в 90-е входили в состав так называемых «матрешечных» регионов, например Ненецкий автономный округ – в состав Архангельской области. Многие из них вошли в состав краев и областей. Современный Пермский край образовался после объединения Пермской области и Коми-Пермяцкого автономного округа в 2005 г., Красноярский край включил Долгано-Ненецкий и Эвенкийский АО и т.д. Те же, что сохранились, например Ханты-Мансийский автономный округ, имеют теперь равнозначный статус с другими регионами (в том числе и с Тюменской областью).
Были в РСФСР два города республиканского значения - Москва и Ленинград, которые соответственно получили статус городов федерального значения (Москва и Санкт-Петербург). Сейчас к ним добавился Севастополь. Особый статус города-региона подчеркивает их роль в социально-экономическом развитии страны. 

В ельцинский период «парада суверенитетов» во многом регионы сами определяли свой статус и название. Поэтому унаследованное от СССР разнообразие сохранилось. Впрочем, в СССР и в 90-е разный статус предполагал различные полномочия регионов. Очевидно, что статус Республики Татарстан, заявлявшей о своем суверенитете, имевшей свою конституцию и президента, был несколько выше, чем у рядовых областей. Но в последние годы в России согласно Конституции все регионы – равнозначны и полноправны. Республики скорректировали свои конституции, чтобы они полностью соответствовали российской. 

P.S.: США изначально создавались как союз штатов, то есть каждый штат можно условно назвать отдельной страной, но и у них есть округ Колумбия, не принадлежащий ни одному штату и Свободно ассоциированное государство Пуэрто-Рико, а также ряд территорий в Тихом океане. Нет какого-то "правильного", образцового административно-территориального деления. Оно всегда учитывает историческое развитие территории