В соответствии с ГК РФ ст. 30 при ограничении дееспособности гражданина он может совершать только мелкие бытовые сделки. Совершать иные сделки он может только с согласия своего попечителя. То есть заниматься предпринимательской деятельностью - экономической деятельностью, направленной на систематическое получение прибыли от производства и продажи товаров, оказания услуг, самостоятельно он не сможет.
Законом не запрещено. В законе о гос. регистрации об этом запрета нет.
Скажу больше: дееспособность может быть разная - это во-первых. А во-вторых, никто проверять это не будет.