В ЗАГСах, если необходимый ЗАГС вообще имеет архив, хранятся только документы достаточно "свежие" - до середины 1920-ых годов. Обычно до этого времени многие знают о своих предках. Если же нет, всё равно органы ЗАГС - не основное место, где можно получить такую информацию - доступ к их документам для рядового гражданина затруднён. Более ранние - и более полезные для исследования родословной - документы хранятся в архивах: в городских, областных или федеральных.
Алгоритм исследования родословной в общих чертах выглядит так:
Опрос живущих родственников о именах, местах и датах рождения их ближайших предков. В идеале "по памяти" следует восстановить данные хотя бы на одно-два поколения от 1917-1918 годов (период, когда перестали вестись метрические книги). При таких опросах важно уточнять социальный статус (крестьяне, дворяне, мещане и проч.) и вероисповедание предков - и от первого, и от второго зависит тип документов, в которых записывалась информация о них в прошлом.
Установление привязки места проживания - и особенно рождения - предков к административным границам соответствующего исторического периода. Если ваш папа родился где-нибудь на юге Брянской области, то его предки, никуда не переезжая, из-за изменения административных границ могли родиться на территории области Орловской, Гомельской, Черниговской губернии, Стародубского полка и т.д. Соответственно, по каждому периоду документы будут храниться в разных архивах.
Обращение в архив - в буквальном смысле написание письма с просьбой об исследовании родословной, исходя из уже узнанных самостоятельно сведений. Архивы оказывают такие услуги по поиску, но ищут обычно очень долго - от нескольких месяцев до нескольких лет. Как альтернатива - обращение к частным исследователям-генеалогам или самостоятельное посещение архива.
Рядовой житель России по архивным документам, если не будет каких-то сложностей (утрата документов, неожиданные переезды, внебрачные связи, приёмные дети, и проч.), вполне может исследовать свою родословную до середины-конца XVI века.