И так. У меня на пк есть windows 10 и linux mint 19.1(Cinnamon). Вот у меня два раздела под линукс:
-Файловая система Раздел 7 307ГБ ext4 (\home);
-Файловая система Раздел 8 102ГБ ext4 (\);
Допустим я хочу переустановить linux mint на Ubuntu. При форматировании этих двух разделов и после установки туда Ubuntu, что произойдет с Grub. То есть вместо строчек с linux mint там появятся строчки с ubuntu, или же вообще ничего не получится и не запустится?
В вашем случае при установке Ubuntu, установщик попросит (если через net-инсталер), (предложит - если через GUI инсталятор) указать диск куда установить grub, оставте все по умолчанию (обычно /dev/sda и название диска). Получается у вас будет установлен grub из дистрибутива Ubuntu, он заменит grub Linux Mint и при конфигурации он просканирует диск и определит какие ОС на нем установлены и будет отображать их в своем меню. То же самое произошло бы если вы не стали удалять Linux Mint, его grub переписался бы Убунтовским и при загрузке отображалось бы три системы. По поводу разделов, / можно сделать 12-20 Гб (если дистрибутив для домашнего использования этого достаточно), для /home то же 20-30 Гб достаточно. Из личного опыта - удобно сделать как бы общий раздел с Windows отформатированный в ntfs, поскольку Windows без доп настроек не видит файлы на разделах ext. У меня диск 250 Гб на нем стоит Windows XP, Windows 7, Windows 8.1, Windows 10, Ubuntu 18.04, Ubuntu 18.10, Linux Mint 19 Xfce, а для файлов отдельный диск который видят все системы.
Если все сделаете правильно, установите в те же разделы, то в Grub пропишется информация о новой системе Ubuntu (Mint основан на образе Ubuntu) и все пройдет без проблем. Будете так же выбирать в какую систему загрузится.