Директор - мужской род единственное число. Директор не может "подписала", только подписал и неважно какого пола директор в действительности.
так же см.
Дире́ктор (от лат. dirigere, directum — от di и regere — «управлять», мн. ч. — директора́; устар. жен. — директриса) — управляющий, руководитель, начальник компании, предприятия или учебного заведения.
Как и любой другой титул или звание в к женскому роду не склоняется, для этого вводятся уточняющие слова. "пример" Лейтенант Новоселова Н.И. написала объяснительную и.т.д