Во всех районах можно найти бюджетное размещение, но лучше конечно рассматривать города побольше, там выбор больше плюс с питанием там у вас не будет проблем, можно будет найти столовые где можно бюджетно но хорошо покушать. Я бы рассматривал Гагры.
Ну а если вам нужно подобрать варианты размещения, напишите мне в группу ВК
Средняя ена в Абхазии 500 руб в сутки с человека. Но это частный сектор.