Возможно, я повторю некоторые вещи, которые писали люди до меня, но все же. Я бы посоветовала сходить в Мультимедиа Арт Музей - он же дом фотографии. Там частенько бывают интересные выставки, но все зависит от ваших индивидуальных предпочтений.
Замечательные выставки современного искусства проводит небезызвестный музей "Гараж" в Парке Горького. Помимо экспозиций, там ещё и интересная инфраструктура: есть и библиотека, и книжный, и классные кафе. Летом ещё и проходят бесплатные лекции и кинопоказы.
Ещё можно сходить в дизайн-центры вроде "Винзавода", "Арт-плея". На "Винзаводе" есть небольшие галереи, где проводятся выставки современных художников. А в "Арт-плее" так совсем большие площадки и масштабные экспозиции.
Есть в районе Курской/Чкаловской бесплатная галерея Гари Татинцяна. В ней довольно небольшие залы, и это позволяет очень хорошо прочувствовать настроение работ того или иного художника.
Если хватит сил и времени, то очень советую посетить музей Царителли в Подмосковье. Он находится, если не ошибаюсь в Переделкино. От Киевского вокзала на электричке чесать минут 20-25. Это потрясающее место, где прямо среди деревьев и леса стоят колоссальные по своему масштабу статуи этого замечательного архитектора. Вот там реально стоит побывать.
Спасибо Анастасия. Большое спасибо за перечисление московских музеев. Очерк о Никитском бульваре и других улицах Москвы.