С математической точки зрения, достаточно грубо говоря, Преобразование Фурье представляет собой разложение сигнала по базису из периодических составляющих. На практике это дает информацию о том, какая частота (набор частот) сидит в нашем сигнале. Например, записав звук гитарной струны и выполнив преобразование Фурье над этим сигналом и, получив, таким образом его спектр, определяя пиковую частоту вы поймете какая нота была извлечена (примерно на такой идеи работают приборы, проверяющие правильность настройки музыкального инструмента). При этом метод преобразования Фурье зачастую лучше, чем поиск периода в исходном временном сигнале, так как на не могут сидеть нехилые искажения или наводки. Метод преобразования Фурье достаточно широко используется в информационно-измерительных системах для оценивания параметров объекта (например, скорости). Другим популярным применением является сжатие с потерями (сигнал представляется как набор гармоник с наибольшим вкладом и хранятся только они. Так как размер этого набора зачастую значительно меньше размера исходного сигнала - получается сжатие. Но так как между этим набором и исходным сигналом нет взаимооднозначного соответствия, то теряется часть исходной информации ). Также фурье применяется для фильтрации (фильтр шума в некоторой полосе частот) сигналов и изображений, проектирования радиоэлектронных систем, поиска особенностей на изображениях (здесь фильтруют низкочастотный шум)и очень много где.
Вейвлет анализ используется в тех же приложениях, что и Фурье, но немного для других целей. Представьте, что у вас есть нестационарный сигнал, частотные характеристики сильно меняются от времени (сначала брякали на контрабасе, потом подключилась скрипка, а в конце и солист запел) и вам эти изменения необходимо увидеть. Стандартное преобразование фурье вам даст только суммарный вклад гармоник на всем промежутки времени, а с помощью вейвлет преобразования, вы сможете локализовать их во времени. Похожим образом работает коротко-временное преобразование Фурье, которое однако имеет свойство временно-частотного разрешения хуже, чем Вейлет преобразование, т.е на коротких интервалах теоретически информацию о частотах можно вытащить лучше с помощью Вейвлет. Однако из-за большей трудоемкости, на практике Вейвлет преобразование используется реже чем Фурье (насколько я знаю, повсеместно только для сжатия данных).