В чем суть Фурье-преобразования и вейвлет-анализа, каковы их сферы применения?

В общем случае фурье-преобразование, это разложение функции по ортонормированному базису функций. Ортонормированные функции, это такой упорядоченный набор функций, в котором норма каждой функции равна 1, а скалярное произведение двух разных функций равно 0. Это аналогично тому, как вектор в N-мерном пространстве раскладывается по ортонормированному базису векторов.

Базис функций выбирается исходя из конкретных свойств разлагаемой функции. Например, если это периодическая функция, то очень удобно разложить её по базису тригонометрических функций с разными частотами. По величине коэффициентов такого разложения сразу видно, какие частоты преобладают в данной функции, а колебания каких частот не встречается (или несущественно) у данной функции.

То есть разлагая функцию по ортонормированному базису тригонометрических функций можно сделать амплитудно-частотный анализ данной функции. Это имеет огромное применение там, где имеют дело с сигналами (радиосигналы, звуковые сигналы), с колебаниями и с периодическими пространственными структурами.

Но фурье-преобразование не учитывает нестационарность разлагаемой функции.

Вот простой пример. Рассмотрим 2 сигнала.

Допустим, по времени от -1 до 0 был монохромный гармонический сигнал частоты w и амплитуды А. А после 0 до плюс бесконечности сигнала не было (амплитуда сигнала равна нулю), и также не было сигнала от минус бесконечности до -1.

А второго сигнала не было от минус бесконечности до 0. А после 0 до +1 пошел монохромный гармонический сигнал точно такой же амплитуды А и частоты w. После +1 снова сигнала не было до плюс бесконечности

Фурье-преобразование дает совершенно одинаковый спектр этих двух разных сигналов. Поэтому при восстановлении этих сигналов обратным преобразованием Фурье получаются два одинаковых сигнала, которые не совпадают ни с первым сигналом, ни со вторым.

Сначала для изучения таких ситуаций применяли оконное преобразование Фурье. Это когда из исследуемой функции вырезается некоторый отрезок (окно) и делается его фурье-преобразование. А само окно смещается от минус бесконечности до плюс бесконечности. Таким образом, график спектральной характеристики становится не одномерным (зависимость амплитуды от частоты), а 2-мерным (зависимость амплитуды от частоты и от координаты центра окна). По существу, это корреляция исследуемой функции и синуса (или косинуса) в окне, когда изменяются и координаты окна и частота синуса.

А затем стали использовать вейвлет-преобразования. Идея там была такая, что надо связать между собой ширину окна и частоту колебаний синуса в окне. В самом деле, зачем для высокочастотного синуса очень широкое окно, если в этом окне помещается миллиарды периодов этого синуса. А, с другой стороны, зачем окно маленькой длины для низкочастотного синуса, если ширина окна много меньше периода этого синуса.

Поэтому взяли за основу не периодические функции, а такие, которые хорошо убывают за пределами некоторого условного окна (то есть у окна нет резких границ), и при сжатии окна увеличивается частота этих функций.

Вейвлет-преобразований также много всяких разных. Выбор того или иного-вейвлет преобразования определяется свойствами исследуемой функции и задачами исследования.

Что лучше, Фурье или вейвлет?

Если вы имеете дело со стационарными процессами, то вейвлет-анализ не даст вам никакой новой информации по сравнению с фурье-анализом.  А вычислительных ресурсов на компьютере затратит гораздо больше, чем анализ Фурье.

Поэтому вейвлет-анализ имеет смысл применять только тогда, когда вы уверены, что имеете дело с нестационарным процессом, например, видите, что спектр процесса очень сильно меняется со временем.