Если под частной собственностью имеется в виду объединение физических держателей личного имущества (или обладающих правом на таковое имение), то, по всей очевидности, деньги (нет необходимости говорить только о долларе, поскольку это характерно для любой валюты), как пример такого имущества, находятся в собственности у ее держателей. Таким образом, наличие денег у физического лица подтверждает факт ее имущественного признака, что дает право называть лицо их собственником. Это касается как наличных, так и безналичных и электронных денег (правда, с небольшими индивидуальными для каждого законодательства поправками).
Определение единственного собственника валюты невозможно, хотя бы по той простой причине, что эмитированные банкноты имеют массовый характер, подразумевающий совершенно свободное и хаотичное денежное распределение (оборотоспособность).
Что касается денег как капитала, то все права, в частности и на собственность, регулируются договором лица с той или иной финансовой организацией.