Интересный вопрос. Происхождение фразы точно не известно, но есть ряд упоминаний, относящихся к середине XIX века, к викторианской эпохе - времени, когда бедность была серьезной проблемой для Англии. По Новому Закону о Бедных 1834 года благотворительную - и весьма скудную - помощь в виде крова, одежды и еды можно было получить, только переехав в работный дом, где условия больше походили на тюремные, так что тепло там вряд ли было. О своем отношении к подобного рода благотворительности высказался Диккенс в "Оливере Твисте", подробнее можно почитать здесь: prisonvoices.org
Еще есть вариант, что благотворительность от лица организаций безлична и лишена душевного тепла, отсюда и холод в идиоме.