Существуют ли какие-либо законные процедуры отстранения чиновников при потере психического здоровья? Может ли прогрессирующая деменция быть основанием для отставки президента?

Формально да, может:

Статья 92 п.2 Конституции РФ:

Президент Российской Федерации прекращает исполнение полномочий досрочно в случае его отставки, стойкой неспособности по состоянию здоровья осуществлять принадлежащие ему полномочия или отрешения от должности. При этом выборы Президента Российской Федерации должны состояться не позднее трех месяцев с момента досрочного прекращения исполнения полномочий.

На практике это фактически невозможно, потому что не существует закона регламентирующего порядок этой процедуры. Конституционный суд в 2000 году дал весьма расплывчатый комментарий по этому вопросу:

"...Порядок досрочного прекращения полномочий Президента Российской Федерации в случае стойкой неспособности по состоянию здоровья осуществлять принадлежащие ему полномочия не может быть облегченным, упрощенным. При этом должна быть исключена возможность превращения данного порядка в способ необоснованного отстранения Президента Российской Федерации от должности, а тем более в неконституционный способ присвоения каким-либо органом или лицом властных полномочий Президента Российской Федерации"

Источник: http://constrf.ru/razdel-1/glava-4/st-92-krf

Теоретически инициативу о проведении медицинского обследования первого лица могла бы взять на себя Госдума, но на деле это предложение, в нынешних реалиях, всё равно не встретит достаточную поддержку депутатов.

Что касается рядовых чиновников, то там ситуация проще - чем ниже занимаемый пост и меньше власти, тем больше шансов в случае резонансного случая потерять место. Признание недееспособности это частный случай - подобные истории обычно заканчиваются увольнением задним числом.