В самой Абхазии нет аэропорта. Можно долететь до Сочи, а потом пересесть на другой транспорт (общественный или такси).
Сам по себе перелет (его длительность) зависит, разумеется, от расстояния. Например, из Москвы перелет длится 2 - 2,5 часа. Из Петербурга - 3 часа.
На счет пересадок не стоит беспокоиться: обычно для туристов организуется трансфер: индивидуальный или групповой.
Смотря откуда летите, и при условии что вы состоите в ООН. Другие гражданские суда Абхазия не принимает. Лететь придется до Адлера - а там землей, благо не далеко.