Сколько часов/дней/лет сможет жить человечество, если Солнце погаснет?

Много. Если Солнце не исчезнет, а просто погаснет, у нас будет две проблемы - сильное похолодание и гибель растений.

Сначала про растения. Фотосинтез прекратится немедленно и большинство растений погибнут в первые дни и недели. Самые большие растения, у которых, соответственно, больший запас питательного вещества (сахарозы) продержатся несколько месяцев. Смерть растений повлечет за собой ряд негативных последствий: в основном вымирание травоядных животных и как следствие закрытие всех ферм и мясокомбинатов, а значит мы будем вынуждены отлавливать/разводить и есть хищных. Есть надежда, что в отсутствии травоядных, которые являются их пищей, они сформируют новую экосистему - где сильные хищники будут поедать слабых хищников и таким образом существование животных сохранится. Кислород на земле кончится не так быстро - его хватит на несколько тысяч лет. Тем не менее, дышать будет тяжелее из-за увеличения количества углекислого газа, поэтому в ближайшие 500-600 лет человечество будет вынуждено позаботиться о строительстве кислородных станций.

Теперь про похолодание. В первую неделю температура на земле упадет до -20С, в первый год до -100С. Затем она продолжит падать, но медленнее, и в конце концов остановится на отметке -150-160С. Вместе с этим замерзнут все водоемы, но в океанах под многометровым льдом вода останется, и этот самый слой льда будет поддерживать плюсовую температуру. Людям придется укрыться в геотермальных комплексах - они будут получать тепло и электричество с помощью добычи энергии из подземных высокотемпературных источников. Проще всего их добывать возле вулканов.

Разумеется, не всем людям хватит места в укрытиях. Многие (возможно, очень многие) погибнут в первые несколько лет в борьбе за ресурсы - воду, бензин, электрогенераторы, но оставшаяся часть человечества выживет и продолжит свое существование, только в измененных условиях.

А вот если Солнце вообще исчезнет, перспективы выживания окажутся гораздо ниже - Земля двинется в открытый космос со скоростью около 107'000км/ч и почти неизбежное столкновение с космическим объектом типа астероида или другой планеты повлечет за собой гигантские разрушения.