С военкомата звонит автоответчик, нужно явится с водительским удостоверением. Нужно ли идти на эти звонки и что будет если не прийти в срок?

Автоответчик это не официальная повестка, так что его (автоответчик) можно игнорировать. Официальную повестку, вручённую под роспись, т.е. доставленную "с уведомлением" игнорировать не получится. Это может кончиться принудительным доставлением в военкомат силами полиции.