По вопросу непонятно, речь идёт о школьнике или студенте. С одной стороны, матанализ --- предмет в основном вузовский, с другой стороны слово "углублённо" обычно используется в школьном дискурсе. Могу посоветовать несколько книг, где математический анализ (или его разделы) излагаются особенно внятно, настолько, что книгу легко читать в порядке самообразования.
Задачник Демидовича уже называли. Прочитав введение к каждой главе, можно решить довольно много задач из неё.
Есть превосходная, но довольно своеобразная книга Зельдовича (Зельдович Я.Б. Высшая математика для начинающих и ее приложения к физике). Там мало формул и многое хорошо объяснено на качественном уровне.
Книга Гельбаума и Олмстеда (Гелбаум Б., Олмстед Дж. Контрпримеры в анализе) --- непревзойдённый шедевр и незаменима для проникновения в тонкости анализа. И ещё написана блестяще.
Назову два классических учебника, которые, как мне кажется, написаны лучше и понятнее прочих.
Более лаконичный --- учебник Рудина (Рудин У. Основы математического анализа.) Эта книжка --- квинтэссенция анализа, своеобразный дайджест, всё самое важное. И тоже превосходно написана.
Более многословный --- двухтомник Зорича (Зорич В.А. Математический анализ. Часть 1 , Часть 2). Там "есть всё", но написан он весьма человеческим языком, читать легко и приятно.
(Конечно, все названные книжки есть в Сети; например, их можно скачать из techlibrary.ru , да и много ещё откуда.)
Александр Вячеславович, про новую книгу Прасолова не забудьте ) Она великолепна! В остальном мы с Вами полностью сходимся ))