Русские (жители Новгорода, Москвы...) и византийцы были братишками? Или русские только христианство взяли и на этом сотрудничество кончилось?

Византийская империя, также ошибочно называемая Восточной Римской империей и Византией, была продолжением Римской империи в ее восточных провинциях во время поздней античности и средневековья, когда ее столицей был Константинополь (современный Стамбул, который был основан как Византия).  В 4-6 веках произошел период перехода, в течение которого римская империя греческого Востока и Латинского Запада разделилась. Константин I (т. 324-337) реорганизовал империю, превратил Константинополь в новую столицу и легализовал христианство. Феодосий I (т. 379-395) сделал христианство официальной государственной религией Империи. Все другие религиозные практики были запрещены. Наконец, под властью Ираклия (r. 610-641), армия и администрация Империи были реструктурированы, вместо латинского языка официальным языком стал греческий. Но несмотря на это деление якобы Византийская империя формально оставалась в составе Римской империи. 

Я все это к тому говорю, что Византийской империи как таковой не существовало никогда. Впервые этот термин - Византийская империя - ввел немецкий историк Иеронимус Вольф в 1557 году. Термин происходит от «Византии», прежнего названия города Константинополя. 

Говоря о "визайтийцах", это все равно что обращаться к жителям древнего города с названием Византия, который был переименован в Константинополь, а позже стал Стамбулом. 

Еще надо учитывать, что в дохристианские времена на славянской территории господствовали викинги. Мало того, славяне даже пригласили одного из них стать во главе русско-славянского (если грубо) государства. Рюрик его звали. Русские славяне отлично ладили с викингами, разрешали им торговать с Византией, использовать реки Днепр и Волгу для судоходства и торговли. В сущности Руси не существовало, было викинговское государство, которому русские славяне покорно починялись.