Очень спорный вопрос.
Как человек с подобным опытом, когда родители смотрят твою страницу, я против этого, ибо не хочу, чтобы кто-то вмешивался в мою жизнь. Родители у меня довольно консервативные (наверное, как и у многих подростков) и их бы повергло в шок мое общение.
Но есть другая сторона: сейчас многие дети сидят в соц. сетях чуть ли не с возраста 6-9 лет. Такими пользователями легко манипулировать, они становятся идеальным объектом для извращенцев. Вот таких детей нужно контролировать, а с возраста 12-13 лет это не нужно. Хотя многое зависит от ребенка: если ему объяснить, что можно, а что — нет, то и читать его переписки не понадобится.
Сразу вспоминаю случай из детства (тогда мне было лет 10), как вк подписалась на какой-то паблик, который потом переименовали и он обрел матерное название. Так же у меня было много друзей там, которые в основном были старше меня. Я добавляла всех, кого можно, даже не общаясь с ними, ибо тогда мне это считалось дико крутым, когда в друзьях больше 100 человек. Но однажды об этом узнала моя сестра и рассказала маме, которая сразу побежала к компьютеру смотреть на это все. Тогда я отхватила люлей и после этого сижу с фейков, которые не палю родственникам.
На мой взгляд, нет, не должны. Каждый имеет право на свои тайны, в том числе от родителей. Родителям достаточно наблюдать за действиями ребёнка со стороны, зная необходимые инструменты они легко смогут это делать.