Насколько я понимаю, имеется в виду почтовый клиент Outlook, а не сервис Outlook.com для электронных писем. В любо случае, наиболее разумным решением выглядит синхронизация писем по IMAP непосредственно между почтовыми сервисами, например, с помощью функции резервного копирования почты Handy Backup.