Правда ли, что штрафы за мелкие административные нарушения "обнуляются" через год, даже если их не платить?

Через 2 года.

КоАП Статья 31.9. Давность исполнения постановления о назначении административного наказания

1. Постановление о назначении административного наказания не подлежит исполнению в случае, если это постановление не было приведено в исполнение в течение двух лет со дня его вступления в законную силу.