Наверное, чаще всего так говорят именно по поводу схожести характера питомца с характером хозяина. Это неудивительно, ведь правильное воспитание питомца напрямую зависит от характера человека. Если хозяин раздолбай, то и его домашние животные будут непослушными :)
Кроме того, часто с людьми, которые любят много покушать и поспать, живут такие же пузатые питомцы.
Но по сути, тут всё дело в общем образе жизни. Наши питомцы всегда будут подстраиваться под нас, недаром их называют братьями нашими меньшими.