В наших университетах курс математического анализа начинают с теории множеств. Речь там идет о настолько непривычных юношам и девушкам вещах, что большинство студентов воспринимают поток информации как аксиомы т.е. неопределимые основы, не углубляясь в причины возникновения этих аксиом. На основе которых потом выводятся такие абстракции как предел, функция, производная и т.д. При этом сущностная соль теории множеств, созданной во второй половине XIX века Георгом Кантором при значительном участии Рихарда Дедекинда, и в частности бесконечных множеств для студентов остается как бы за завесой умолчания.
А ведь размышление над этими вещами способно возвысить ум над горизонтом обыденности!
Разберем пример. Математики ввели понятие мощности бесконечного множества.
Два множества N и M называются эквивалентными (равномощными), если между ними можно установить взаимнооднозначное соответствие. То есть каждому элементу множества N можно поставить в соответствие элемент множества М.
Идем дальше. Возьмем множество множество натуральных чисел 1, 2, 3, ..., n, ... до бесконечности. Это бесконечное множество, т.е. количество элементов его бесконечно!
Множество натуральных чисел можно представить, как объединение множеств четных и нечетных чисел.
N = N1 + N2 (где N1 - множество всех нечетных чисел, N2 - множество всех четных чисел
Интуитивно кажется, что четных чисел раза в 2 меньше, чем натуральных. Так? А вот и нет!
На самом деле множество четных чисел равномощно множеству натуральных чисел! Доказательство (Пример 2).
Говоря поэтически:
То бесконечное и это бесконечное. И если из бесконечного отнять бесконечное останется тоже бесконечное.
N - N1 = N2 или ∞ - ∞= ∞
Кстати, приведенная выше поэтическая строка - это практически дословный перевод первого из 18 стихов Иша-упанишады - мистического философского трактата на санскрите, авторство и время создания которого науке не известны.
ॐ पूर्णमदः पूर्णमिदं पूर्णात्पूर्णमुदच्यते ।
पूर्णस्य पूर्णमादाय पूर्णमेवावशिष्यते ॥
Om Puurnnam-Adah Puurnnam-Idam Puurnnaat-Puurnnam-Udacyate |
Puurnnasya Puurnnam-Aadaaya Puurnnam-Eva-Avashissyate ||
Ом - Полное Целое;
Пурнам - полностью завершенное;
Адах - которое;
Пурнам - полное;
Идам - этот проявленный мир;
Пурнат - из совершенного;
Пурнам - законченная часть;
Удачйате - произведен;
Пурнасйа - из Полного Целого;
Пурнам - полностью;
Адайа - было выделено;
Пурнам - совершенное равновесие;
Эва - хотя;
Авашишйате - остается.
Так что откровения древнеиндийских мудрецов-риши и умозаключения титанов европейской науки оказались идентичными. Что дает мне основания полагать, что настоящие математики, равно как и мудрецы древности глубоко проникли в тайны бесконечности.