Бывшая жена не подавала на алименты. У нас двое детей, они приходят ко мне с ночёвкой. Если она подаст на алименты, суд примет заявление?

Суд примет заявление. А подано оно может быть в двух вариантах:

1) Заявление мировому судье о выдаче судебного приказа о взыскании алиментов в долевом отношении к заработку. Суд просто вынесет судебный приказ без слушания дела, этот судебный приказ будет передан судебному приставу, который возбудит исполнительное производство и начнёт производить взыскание. Если у Вас на банковском счёте/ карте есть денежные средства, их просто спишут.
У Вас будет право подать заявление об отмене судебного приказа в течение 10 дней с момента, как Вы о нем узнаете. Но при последующей подаче матерью детей искового заявления о взыскании алиментов, они будут взысканы с момента её обращения к мировому судье с заявлением о выдаче судебного приказа.

2) Исковое заявление в районный суд о взыскании алиментов в твёрдой денежной сумме. Вас должны будут известить о слушании дела, и Вы сможете принять участие в судебном заседании.

Ст. 83 СК РФ:
1. При отсутствии соглашения родителей об уплате алиментов на несовершеннолетних детей и в случаях, если родитель, обязанный уплачивать алименты, имеет нерегулярный, меняющийся заработок и (или) иной доход, либо если этот родитель получает заработок и (или) иной доход полностью или частично в натуре или в иностранной валюте, либо если у него отсутствует заработок и (или) иной доход, а также в других случаях, если взыскание алиментов в долевом отношении к заработку и (или) иному доходу родителя невозможно, затруднительно или существенно нарушает интересы одной из сторон, суд вправе определить размер алиментов, взыскиваемых ежемесячно, в твердой денежной сумме или одновременно в долях (в соответствии со статьей 81 настоящего Кодекса) и в твердой денежной сумме.
2. Размер твердой денежной суммы определяется судом исходя из максимально возможного сохранения ребенку прежнего уровня его обеспечения с учетом материального и семейного положения сторон и других заслуживающих внимания обстоятельств.
3. Если при каждом из родителей остаются дети, размер алиментов с одного из родителей в пользу другого, менее обеспеченного, определяется в твердой денежной сумме, взыскиваемой ежемесячно и определяемой судом в соответствии с пунктом 2 настоящей статьи.