На компьютере было 2 жестких диска (HDD), на каждом была установлена Windows, я приобрел SSD, подключил его и установил на него Windows 10. Отформатировал два локальных диска, на которых были установлены прошлые версии. Как только я отключаю один из жестких дисков, Windows перестаёт запускаться, устанавливаю жесткий диск обратно, Windows запускается.
Это скорее всего у Вас загрузочные файлы стоят на том диске, который Вы отключаете. Надо систему ставить на один диск и попробуйте в это время отключить первый и только когда система полноценно встанет, то подключайте второй. Изучите, что такое рейд-массив, как раз касается тематики двух дисков и более.
А ошибку то система какую при этом выдаёт? Как были размечены диски при установке Windows? ОС устанавливалась с подключенными HDD или нет? Без этой информации мы Вам не поможем.