Для добавления favicon для сайта вы можете сгенерировать изображение с помощью сервиса https://www.favicon.by/
и дальше в коде сайта в <head> </head> у казать тег:
<link rel="icon" href="https://example.com/favicon.ico" type="image/x-icon">
Замените https://example.com/favicon.ico на адрес к вашей картинке на сайте
Если под аватаркой вы имеете ввиду значок/иконка в браузере, то это делается без кода и называется фавикон. Берёте картинку/фото/графику или что хотите в любом популярном формате, желательно не очень большую, т.к. размеры... Читать далее
Лучший
Укажите больше информации.
Какая CMS на сайте или без.
Аватарку можно будет менять или нет
Желательно укажите адрес сайта и версию php и Базы данных