Для заявления на сдачу ЕГЭ в универе выдадут ли мне аттестат, не отчислив? И как долго я могу держать его при себе?

Да, выдадут, Вам нужно обратиться в отдел кадров и узнать там, где хранится Ваш аттестат (возможно, у них, а возможно в каком-то специализированном отделе), пойти и забрать его