Почему в шахматах после окончания партии королей ставят напротив друг друга?

На самом деле всё просто. 

Если поставили королей напротив друг друга на полях e4 и e5, значит партия закончилась вничью. 

Если белый король стоит на поле e4, а черный на d5, значит белые победили в этой партии. Раньше еще выдвигали только белого короля на поле e4, а черного оставляли на e8.

Ну и соответственно, если черный король выдвинут вперед на е5, а белый на d4, значит черные одержали верх. Раньше выдвигали в таких случаях только черного короля, а белого оставляли на е1.

Upd. Забыл отметить, что это делается на турнирах, чтобы зрители и судьи понимали, не заглядывая в протокол, каким результатом закончилась та или иная партия.