Почему в двумерном пространстве нельзя произвести векторное умножение двух векторов? Вектор будет мнимым, и откладыватся по мнимой оси Z?

А откуда в 2-мерном вещественном пространстве взялась третья ось Z?

С таким же успехом можно было вопрос задать и так: "Почему в двумерном пространстве нельзя произвести векторное умножение двух векторов? Вектор будет вырбырдырным, и откладываться по вырбырдырной оси."

И затем вам придется определять свойства этой чудесной вырбырдырной оси в 2-мерном пространстве (также как и свойства вашей мнимой оси Z).

Векторное произведение векторов имеет хороший физический смысл. Через векторное произведение определяются такие вещи, как момент вращения, магнитный момент и т.п. Это всё принципиально 3-мерные физические объекты, которые реально существуют в 3-мерном пространстве, и не являются мнимыми объектами.

Поэтому от обычного определения векторного произведения не откажутся, а ваше определение будет существовать параллельно обычному определению. Но зачем? Где оно будет применяться?

А в 2-мерном физическом пространстве векторное произведение не не существуют ни в каком виде, т.к. физические законы в 2-мерном пространстве совсем другие.