Дополняя ответ Романа можно сказать, что собрания популярны, потому что работают.
Даже без поправки на открытость американской культуры очевидно, что с трудной ситуацией проще справиться с поддержкой друзей, которые смогут понять твою проблему, примут тебя таким, какой ты есть, поддержат.
Техники, используемые такими группами направлены на то, чтобы атмосфера была именно дружеской, свою историю принято рассказывать не на первом же собрании, а когда уже послушал других, пообщался неформально, тебе стало комфортно. Так как у всех там те же проблемы – ты понимаешь, что они не будут давать глупые и пустые советы, не будут тебя осуждать, но смогут подбодрить, сказать, что ты молодец, даже если сделал какой-то маленький шаг в сторону выздоровления, это всё очень помогает в любом процессе – будь то лечение, обучение, работа, а борьба с зависимостью это и то, и другое, и третье.
P. S.
Спустя какое-то время после написания ответа наткнулся на очень интересную статью о неэффективности методики Анонимных Алкоголиков: http://www.theatlantic.com/magazine/archive/2015/04/the-irrationality-of-alcoholics-anonymous/386255/ (англ.)
Впрочем, в статье речь о низкой эффективности программы "12 шагов" в борьбе с алкоголизмом как заболеванием, в ценности психологической поддержки группы людей со схожими проблемами никто не сомневается.