Ну, коммерческая компания в своем самопальном реестре может "регистрировать" кого угодно и в каком угодно качестве, если это не запрещено (или иное не предписано) законом или судом. Если органам управления РФ не нравится факт подобной "регистрации", да еще как ООО (откуда, кстати, вообще ООО в Британии, если там Ltd.?) - пусть жалуются в британский суд.
Что касается регистрации при Минтруда США, то, если есть наемные работники на территории США и это не дипломаты, их работодатель должен как-то регистрировать себя и работников и платить налоги и соцвзносы. Если непосредственным работодателем является орган госуправления РФ, значит ему и регистрироваться. Если регистрироваться не хочется, надо завести работодателя-прокладку, чьи работники будут выполнять ту же работу, а он сам будет зарегистрирован еще и как "иностранный агент".
Насчет нерегистрации в самой РФ - не в курсе. Но, наверное, законы не требуют таковой.
В чем еще проблемы? Что автомобили послов РФ должны иметь зарегистрированные номера страны пребывания? Что Франция требует от российского "сенатора" на своей территории исполнять французские законы? Что РФ на чужой территории вообще приходится исполнять местные законы, или идти на все четыре стороны?