На тренировке вы потеете, из организма уходит вода, нарушается электролитический баланс. Вполне логично, что возникает жажда: организму нужно восполнить потерю жидкости. Пить можно и во время, и после тренировки. Абсолютно никакого вреда это не нанесет.
Но не надо заливаться литрами воды: достаточно делать пару небольших глотков примерно раз в 10 минут. От большого количества воды во время физической нагрузки вас может начать подташнивать, может повыситься давление, самочувствие ухудшится. После тренировки тоже не торопитесь пить воду в больших объемах, пейте небольшими порциями.
Иногда и от небольшого количества воды может появиться дискомфорт в желудке, бурление. В таком случае не пейте воду, а просто ополаскивайте рот и выплевывайте ее.
Вместо воды можно попробовать пить изотоник. Это специальный вид спортпита, который восстанавливает баланс электролитов и восполняет потерю жидкости в организме. Особенно полезен он бегунам.