Почему "критерий Коши" для предела функции дополнительно доказывается, хотя до этого доказывается "критерий Коши" для предела последовательности?

Предел функции обобщает предел последовательности.

Если предел последовательности есть число  а для всех пронумерованных натуральными числами х,  то предел функции - число L для всех f(x), которое существует при условии существования числа а для всех х. Эти числа являются точками накопления (точками сгущения) для почти всех (за исключением конечного) числа элементов последовательности (или функции). Т.е. почти все члены содержатся в некоторой произвольной ипсилон или дельта окрестностях.

Получается, что в рамках понятия предела функции акцент перемещается на область значений функции. Т.е. если х - прообраз, у - образ, то предел функции определяется для образов, а предел последовательности - для прообразов. Можно утверждать, что f(a) = L.

Иными словами, постулируется, что если существует предел, к которому стремится прообраз функции, то должен существовать предел, к которому стремится образ функции. Поэтому Коши вводится так называемый "испилон-дельта формализм". При этом определение предела функции можно представить и как предел последовательности образов, это уже будет определением по Гейне. По сути, определения по Коши и по Гейне эквивалентны (на самом деле не всегда. Если в рамках теории множеств отрицается аксиома выбора, то данные определения уже не являются эквивалентными).

Это надо истолковывать аккуратно: это не означает, что оба предела совпадают, или что они конечны. х может расходиться в бесконечность, в то время как у будет стремиться к 0 или конечному числу.

Вот как пример: x -> oo lim n-1/n = 1. у(x) стремится к 1, а х стремится к бесконечности. Но тем не менее, конечный предел существует и равен f(x).

Поэтому существует отдельно критерий Коши сходимости последовательности и отдельно критерий Коши существования предела функции. Надо ведь убедиться, что это свойство аргумента функции переходит и к зависимой переменной.