Потому что маленький щенок похож на круглый мохнатый мячик. И называли по аналогии c внешним видом. Вряд ли тут есть какие-то более глубокие причины.
Шарик от глагола шарить? Что?
Я бы сказала, что собаку называют, когда она еще щенок, а молодые собаки неуклюжие и пушистые, похожие на шар, только маленький, вот и шарик.