Дело в том, что насекомые являются одним из классов типа членистоногих, а тип членистоногих является лишь одним из типов царства животных. Так что животные — это очень широкое понятие.
Паук, несомненно, принадлежит к царству Животных (Animalia), типу Членистоногие (Arthropoda), классу Паукообразные (Arachnida).
К насекомым паук уж точно не принадлежит. У всех насекомых по шесть ног, а у паука их восемь.