Отчество до появления фамилий выполняло ту же функцию, которую сейчас выполняют фамилии - грубо говоря, идентификацию человека. Ты знаешь, что этот Дмитрий, не сын известного тебе Александра-кузнеца, например, а сын какого-то неизвестного тебе Федора. Сейчас оно просто уже прикрепилось к нам и вошло в традицию. Сейчас многие фамилии происходят от отчества (патронима - если от имени отца, матронима - если от имени матери). Это и Иванов, и Кузьмин, и Федоров, и Катин.
Отчества существую далеко не только в России, не говоря уже о других восточнославянских странах.
У греков отчество находится между именем и фамилией. Замужняя женщина меняет своё отчество на отчество мужа (как у нас фамилию).
В болгарском языке отчества очень напоминают русские. Но добавляется суффикс -ов или -ев: Иванов, Иванова. С 2000-х у детей матерей-одиночек прибавляется суффикс к имени матери.
В семитских народах перед отчеством добавляется частица, которая переводится как "сын". Например, в арабском это "ибн" - ибн Абдуллах, "бен" - бен Давид и др.
Рискну предположить, что "отчества" есть у всех народов (обществ) достигших определённого уровня развития (количества населения и сложности иерархии), когда возникает потребность в дополнительной идентификации персоны.