Я конечно же не прям знаток в исламе, но я училась среди тех, кто носил хиджаб и тюбетейки, так вот на мой взгляд если вы в мечеть ходите в тюбетейки и намаз читаете в тюбетейки, тогда и Коран надо читать тоже в тюбетейки. Да и лучше всего вопрос вам задать этот в мечете, у имама, он то уж точно знает ответ на ваш вопрос.
Лучше не птисать чего не знаете. Головной убор носить не обязательно.