Composer это программа, которая может скачать с Сети и установить в заранее оговорённое место на вашем компьютере чужой код на PHP ("библиотеку"), чтобы вы могли использовать этот код в своей программе.
Множество разработчиков ПО уже написало огромное количество кода на PHP, который решает самые разнообразные задачи. Многие из них выкладывают этот код публично.
Вы можете найти эти сторонние библиотеки самостоятельно и так же самостоятельно скачать и положить в каталог своего собственного проекта. Но благодаря Composer вы экономите себе кучу времени.
Библиотеки, доступные для установки через Composer, можно посмотреть на сайте https://packagist.org/