С недомоганием, конечно, прививать нельзя. Прививают только здоровых животных (как и людей). Сначала покажите кота ветеринару!
Необходимость прививок зависит не от происхождения и "породистости" кота, а от того, планируется ли у него возможный контакт с инфекциями. Если хотите вывозить его, например, на дачу, то нужно прививать, иначе лечить его будет дорого, долго и мучительно. Если рассматриваете возможность когда-нибудь принести домой другого кота (мало ли, котеночек в подъезде жалобно мяучит...) - прививать имеющегося! Заразу можно принести даже на руках, если вы, к примеру, посетили друга, у которого болеет или переболела кошка (панлейкопения остается заразной полгода, ринотрахеит может и на всю кошачью жизнь). И, конечно, прививать, если собираетесь вывозить его за границу. По России сейчас, если не ошибаюсь, требование обязательного ветпаспорта с прививками отменили (но могут и обратно ввести, что им, сложно, что ли).
Кстати, если вдруг вам захочется поучаствовать в выставке, то для непородистых есть отдельный выставочный класс, и вы бы знали, какие там идут баталии и интриги! :) Так вот, для выставки вам тоже понадобятся непросроченные прививки.
Ну и да, это лотерея, конечно. Кому-то чуть больше повезет с иммунитетом, кому-то меньше. Беспородное происхождение - не гарантия, что котик окажется крепче. Там такого может быть намешано... Просто беспородных реже приносят лечить, к сожалению.
Мой старший кот дворняжка, 6 лет и ни разу не болел. Не привит. Мы думали, что младшего тоже не нужно прививать.