Нужно ли нотариально заверенное согласие на выезд от родителей, если улетаешь за границу в день своего совершеннолетия?

Вообще-то как раз нужно. В день рождения возраст остаётся старым, по российскому законодательству. Например, если вы в день 18летия совершили преступление, судить вас будут как несовершеннолетнего. С выездом та же логика, совершеннолетний вы только на следующий день