А почему это должно быть не нормальным? Кому какая разница, кто пишет первым. Если вы хотите пообщаться с человеком, проявить интерес - вперед, и не надо оглядываться на глупые стереотипы
Собственно, зависит от того, что барышня напишет:) многие мужчины к этому нынче относятся нормально- конечно, если это не какделишныйспам от скуки, а проявление внимание и интереса.