В первую очередь, аспирантура - это проведение исследований и защита диссертации. Степень PhD может открыть доступ к успешной карьере. Однако следует брать во внимание востребованность вашей специализации и дальнейшего исследования, отчасти от этого будет зависеть количество и размеры стипендий и грантов, выдаваемых на изучение той или иной области. Говоря простым языком - чем актуальнее сфера исследования, тем проще будет получить финансирование, а следовательно - поступить "на бюджет".
Многие вузы имеют собственный широкий перечень стипендий для докторских исследований. Чтобы узнать о них подробнее, нужно зайти на сайт каждого конкретного вуза, американского или европейского.
Еще один вариант бесплатной учебы в аспирантуре зарубежом, как правильно отметил выше один из ответивших, - обучение на государственном языке страны, особенно касательно аспирантуры в европейских странах, таких как Франция, Германия, Швеция и т.д. Это относится также к бакалавриату и магистратуре.
Кстати, существует возможность поступить в аспирантуру в вузы США, минуя получение степени магистра, однако это касается только технических специальностей.
Кроме стипендий от вузов, финансирование также можно получить от государства, различных фондов и организаций. В интернете есть множество онлайн-справочников и агрегаторов стипендий для аспирантов. Например - http://scholarship-positions.com/.
Еще не стоит забывать, что одни из ключевых поводов для получения стипендии на обучение - высокая успеваемость и хорошие рекомендации. Ваши оценки должны быть выше среднего и плюс вы должны иметь несколько рекомендательных писем от профессоров/деканов/ректора вашего прошлого места учебы, описывающих ваши академические заслуги.
В целом же, поступить "на бюджет" в вузы Европы и США иногда даже значительно проще, чем получить финансирование на обучение в бакалавриате и магистратуре.
Более подробная информация - в гиде по образованию зарубежом.