На работоспособность всего что есть:
1) Экран. Проверить на царапины, его чувствительность - сколько пальцев одновременно регистрирует и на точность, попробовав что то напечатать.
2) Динамик. Звук четкий, громкий?
3) Вибрация. Достаточно просто проверить её штатными методами, скажем вибрация при звонке.
4) По диктофону проверить чувствительность микрофона.
5) Лаги, проверить не лагает ли вообще телефон
6) Проверить связь, вставив симкарту, попробовать позвонить. Если имеется возможность вставить две симкарты, то проверьте и эту функцию.
7) Проверить работоспособность вайфая, 3G.
8) Проверить работоспособность фото и видео камеры, поснимайте что-нибудь.
9) По возможности также проверить гироскоп, для этого достаточно просто посмотреть какую то картинку и перевернуть телефон, если картинка переворачивается (должно быть включено переворачивание), то гироскоп работает в штатном режиме.
10) Проверить работоспособность фонарика (вспышки (если есть))
11) FM-радио, если есть.
12) Обязательно проверьте память телефона в настройках, а точнее её заявленный объем. Иначе может быть так, что хотели 32 гб, а в телефоне только 16 гб.
13) Если прилагается SD-карта, то проверить её будет сложнее, но способ есть, скопируйте на неё с памяти телефона что угодно. После вытащите и вставьте обратно, если скопированные данные будут на карте - она исправна.
14) Проверьте наличие работоспособность комплектующих. Зарядка, наушники и всё такое.
Очень часто именно в этом подвох, телефон рабочий, а наушники - нет.
Впрочем, наушники и зарядку можно будет докупить отдельно, так что это не так критично.
...
Вроде, всё.