Можно выучится на программиста и быть специалистом во всех областях: базы данных, программирование и тд. Или можно стать специалистом только в одной области?

Лучше быть не специалистом в разных областях, а профессионалом с чёткой специализацией.

Широкий кругозор при этом никак не мешает, но пытаться уследить за новыми тенденциями во всём невозможно.