Можно выучится на программиста и быть специалистом во всех областях: базы данных, программирование и тд. Или можно стать специалистом только в одной области?

Быть специалистом во всех областях определённо невозможно. Областей очень много, они очень разные, многие требуют недюженной математической подготовки, а порой и каких-то других специальных знаний.

С другой стороны, иметь широкий кругозор, и при этом быть специалистом в какой-то конкретной области вполне возможно.

Как мне кажется, каждому программисту следует:

• Освоить хотя бы пять непохожих языков программирования
• Хотя бы в общих чертах понимать как устроена СУБД, и уметь с ней работать.

• Уметь работать с сетью хотя бы на уровне системных вызовов ОС.

• Понимать какие примитивы предоставляет ОС и как с ними работать: сокеты, файлы, процессы и нити.
  В этом нет никакой особенной специализации.