Да, можно сохранить и распечатать чат, при условии если Вы общались с этим человеком. Чат сохраняется в формате TXT.
Следуйте инструкции (скриншоты сделать не могу, потому что это моя личная переписка) как это сделать со смартфона:
Заходим в настройки и выбираем чаты.
В самом низу кликаем "история чатов".
Нажимаем "экспорт чата"и выбираем необходимый нам чат.
Дальше всплывает выбор способа отправки (я выбрал свой Ватсапп и отправляю файл сам себе файл тхт.
Открываем файл и читаем, копируем и печатаем.
Указано в чате: дата дд/мм/гггг, время чч:мин и кто кому что писал,
т.е. весь диалог.
На компьютере в веб версии не проверял, думаю там все аналогично.
Успехов!