Обследование в частной клинике предполагает оформление договора на оказание платных медицинских услуг, информированного согласия на осмотр и некоторых других документов. В конце концов вы получаете заключение с вашей фамилией, а не обезличенный листок. В любом случае, потребуется удостоверение личности. Но ваши персональные данные клиника не имеет права разглашать без вашего согласия, так что о вашем посещении, цели визита, диагнозе никто, кроме указанных вами лиц узнать, в принципе, не может.
Это в принципе незаконно. Оказание услуг происходит на основании договора (ст. 779 ГК РФ). А там в любом случае указывается ФИО. Клиника частная, она в этом смысле права. Анонимные услуги оказывать не обязана.