Можно ли прийти в военкомат с целью служить, но без повестки (не приходит 4 года) и за четыре дня до официального завершения призыва?

Конечно можно. Только в этот призыв, очевидно, человек уже не пойдёт: вряд ли успеет пройти медкомиссию. Армия и военкоматы, как часть её структуры - учреждение иерархическое, то есть - бюрократическое, со всеми плюсами и минусами бюрократии. Один из минусов - заторможенная реакция на незапланированные возможности) - Ну, возьмут в следующий.