Можно ли обратится в другую больницу, (которая не обслуживает мой район) города для консультации/лечения?

Извините, у вас в профиле не указано, откуда вы, поэтому опишу ситуацию для России.

Да, конечно. Если у вас есть полис ОМС единого образца, конечно же.

Согласно п. 4 ст. 16, ст. 21 Федерального закона от 29.11.2010 №326-ФЗ «Об обязательном медицинском страховании в РФ» вы имеете право самостоятельно выбрать любую медицинскую организацию из тех, что работают в системе ОМС.

Список организаций, работающих в системе ОМС, должен быть представлен на сайте Территориального фонда ОМС вашего региона.

Если вам отказывают в получении медицниской помощи, апеллируя к месту вашей регистрации, идите к начмеду/главврачу и напомните им про содержание вышеуказанного ФЗ.