Могу ли я по истечению срока действия старого паспорта оставить его себе на память, сказав в ФМС, что он был утерян?

Вы и до истечения срока действия можете это сделать. Госпошлина за бланк паспорта, собрать несколько справок, около месяца ожидания и всё. А зачем вам? Фотографию жалко?